کوهمولوژی و همولوژی موضعی مشتق شده

قضیه صفر شدن هارتشورن - لیختنبام footnote{-lichtenbaum hartshorne }یکی از مهم ترین نتایج در زمینه مدول های کوهمولوژی موضعی است. چندین اثبات ازاین قضیه وجود دارد؛ برای مثال cite{bh2}, cite{cs} و cite{sc1}را ببینید. همچنین، تعمیم های زیادی ازاین قضیه وجود دارد.دیوانی آذر، نقی پور و طوسی در cite{dnt} آن را به کوهمولوژی موضعی با محمل در زیرمجموعه های بسته تحت تخصیص توسیع داده اند. تاکاهاشی footnote{takahashi}، یوشینو footnote{yoshino}و یوشیزاواfootnote{yoshizawa} در cite{tyy}این قضیه را به کوهمولوژی موضعی نسبت به یک جفت از ایده ال ها تعمیم داده اند. اخیراً،نیز قضیه صفر شدن هارتشورن - لیختنبام به مدول های کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته توسیع داده شده است؛ cite{dh}را ببینید. هدف مااثبات تعمیمی از قضیه صفر شدن هارتشورن - لیختنبام است که همه این تعمیم ها را در بر گیرد. مااین کار را با بیان قضیه صفر شدن هارتشورن - لیختنبام برای کوهمولوژی موضعی مشتق شده،انجام می دهیم. فرض کنیم $(r,fm)$ یک حلقه موضعی، $xin mathcal{d}_{box}^f(r)$ و $mathcal{z}$ یک زیر مجموعه بسته تحت تخصیص از $spec r$ باشد. ثابت می کنیم $h_{mathcal{z}}^{dim_rx}(x)=0$ اگر و تنهااگر برای هر $fpin assh_{hat{r}}(xotimes_r hat{r})$،ایده ال $fqin mathcal{z}$ وجود داشته باشد به طوری که $dim hat{r}/fq hat{r}+fp>0$. یوشینو و یوشیزاوا نشان داده اند که برای هر فانکتور کوهمولوژی موضعی مجرد $delta:mathcal{d}_{sqsubset}(r)lo mathcal{d}_{sqsubset}(r)$، یک زیر مجموعه بسته تحت تخصیص $mathcal{z}$ از $spec r$ وجود دارد به طوری که $deltacong {f r}gamma_{mathcal{z}}$. بنابراین نتیجه ما به نوعی بزرگ ترین تعمیم ممکن از قضیه صفر شدن هارتشورن -لیختنبام است. در حقیقت، ما نشان می دهیم این نتیجه شامل تمام تعمیم های شناخته شده از قضیه صفر شدن هارتشورن - لیختنبام است. نظریه کوهمولوژی موضعی بعداز گذشت شش دهه از معرفی آن توسط گروتندیکfootnote{grothendieck} گسترش بسیاری داشته است.اما تئوری دوگان آن، نظریه همولوژی موضعی چنین نبوده است. نظریه همولوژی موضعی،با کارهای ماتلیس footnote{matlis} cite{mat}، در سال 1974، آغاز شد.مطالعه دراین زمینه با کارهای سایمون footnote{simon} cite{si1} و cite{si2} ادامه یافت.سپس گرینلس footnote{greenlees}و می footnote{may} cite{gm} و نیز آلونسو تاریو footnote{tarrio alonso}، جرماس لوپز footnote{lopez jeremias} و لیپمن footnote{lipman} cite {ajl} ، مطالعات جدیدی را در زمینه همولوژی موضعی شروع کردند؛ cite{sc2}، cite{cn1}،cite{cn2}،cite{fr} و cite{ri}را ببینید. فرض کنیم $r$ یک حلقه نوتری جابجایی، $fa$ یک ایده ال از $r$ و $m$ یک $r$-مدول باشد.ما تصمیم داریم،دوگانی از قضیه صفر شدن گروتندیک برای مدول های همولوژی موضعی اثبات کنیم. برای داشتن چنین نتیجه ای،ابتدا باید بتوان دوگان مناسبی برای مفهوم بعد کرول پیدا کرد. دو مفهوم دوگان بعد نوتری ،$ndim_rm$، و بزرگی مدول، $mag_rm$،در حال حاضر در مقالات وجود دارند؛ cite{ro} و cite{ya3} را ببینید. دو قضیه دوگان نسبی از قضیه صفر شدن گروتندیک از کونگ footnote{cuong}،نم footnote{nam} cite{cn1} و ریچاردسون footnote{richardson cite{ri}وجود دارند که راضی کننده نیستند. در حالتی که $r$ حلقه ای کامل موضعی باشد،نشان می دهیم $mag_rmleq ndim_rm$ و تساوی برقراراست هرگاه $m eq 0$ و $m$، $n$-بحرانی یا فشرده خطی نیمه گسسته باشد.لذا به نظر می رسد که $mag_rm$،کران بالای قوی تری برای صفر شدن مدول های همولوژی موضعی $h^{fa}_i(m)$،باشد. در حقیقت حدس مااین است که برای هر $i>mag_rm$، $h^{fa}_i(m)=0$. ما درستی این حدس را در چندین حالت ثابت می کنیم.